Das Arithmetische Mittel, auch arithmetischer Mittelwert genannt (umgangssprachlich auch als Durchschnitt bezeichnet) ist ein Begriff in der Statistik. Es ist ein Lageparameter. Man berechnet diesen Mittelwert wie folgt:
Summe der betrachteten Zahlen geteilt durch ihre Anzahl.
Das arithmetische Mittel einer Stichprobe wird auch empirischer Mittelwert genannt.^[1]

Definition |

Die Hälfte der Summe zweier Größen adisplaystyle a und bdisplaystyle b ist gegeben durch:

x¯=12(a+b)displaystyle overline x=frac 12(a+b).

Da die Größen a,x¯,bdisplaystyle a,overline x,b eine arithmetische Folge bilden, wird die Merkmalssumme der Merkmalsausprägungen x1,x2,…,xndisplaystyle x_1,x_2,ldots ,x_n dividiert durch die Anzahl der Merkmalsträger ndisplaystyle n

x¯:=1n(x1+x2+…+xn)=1n∑i=1nxidisplaystyle overline x:=frac 1n(x_1+x_2+ldots +x_n)=frac 1nsum _i=1^nx_i

als „arithmetisches Mittel“ x¯displaystyle overline x (lies: xdisplaystyle x quer) bezeichnet. Wird das arithmetische Mittel nicht gewichtet (siehe auch Abschnitt Gewichtetes arithmetisches Mittel), dann wird es auch als einfaches arithmetisches Mittel oder ungewichtetes arithmetisches Mittel bezeichnet.

Zum Beispiel ist das arithmetische Mittel der beiden Zahlen 1displaystyle 1 und 2displaystyle 2:

x¯=1+22=1,5displaystyle overline x=frac 1+22=1,5.

Das arithmetische Mittel beschreibt das Zentrum einer Verteilung durch einen numerischen Wert und stellt somit einen Lageparameter dar. Das arithmetische Mittel ist sinnvoll für beliebige metrische Merkmale definiert. Im Allgemeinen ist es für qualitative Merkmale nicht geeignet, jedoch liefert es für dichotome Merkmale mit zwei Kategorien k1=0displaystyle k_1=0 und k2=1displaystyle k_2=1 eine sinnvolle Interpretation. In diesem Fall ist das arithmetische Mittel identisch mit der relativen Häufigkeit f2=f(k2)displaystyle f_2=f(k_2).^[2] Gelegentlich wird zur Bezeichnung des arithmetischen Mittels auch das Durchschnittszeichen ø verwendet. Das arithmetische Mittel ist im Gegensatz zum empirischen Median sehr anfällig gegenüber Ausreißern (siehe Median). Das arithmetische Mittel kann als „Mittelpunkt“ der Messwerte interpretiert werden. Es gibt jedoch keine Auskunft darüber, wie stark die Messwerte um das arithmetische Mittel streuen. Dieses Problem kann mit der Einführung der „mittleren quadratischen Abweichung“ vom arithmetischen Mittel, der empirischen Varianz, behoben werden.

Definition für Häufigkeitsdaten |

Für Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen a1,a2,…,akdisplaystyle a_1,a_2,ldots ,a_k und den dazugehörigen relativen Häufigkeiten h1,h2,…,hkdisplaystyle h_1,h_2,ldots ,h_k ergibt sich das arithmetische Mittel als^[3]

x¯:=a1h1+a2h2+…+akhk=∑j=1kajhjdisplaystyle overline x:=a_1h_1+a_2h_2+ldots +a_kh_k=sum _j=1^ka_jh_j.

Arithmetisches Mittel bei Schichtenbildung |

Bei Vorliegen einer geschichteten Stichprobe, deren arithmetischen Mittel in Schichten bekannt sind, lässt sich das arithmetische Mittel für die Gesamterhebung berechnen. Es sei eine Erhebungsgesamtheit Edisplaystyle E mit ndisplaystyle n Merkmalsträgern in rdisplaystyle r Schichten E1,E2,…,Erdisplaystyle E_1,E_2,ldots ,E_r mit der jeweiligen Anzahl an Merkmalsträgern n1,n2,…,nrdisplaystyle n_1,n_2,ldots ,n_r und arithmetischen Mitteln x¯1,x¯2,…,x¯rdisplaystyle overline x_1,overline x_2,ldots ,overline x_r eingeteilt. Das arithmetische Mittel x¯displaystyle overline x in Edisplaystyle E ist dann definiert durch^[3]

x¯:=1n(n1x¯1+n2x¯2+…+nrx¯r)=1n∑j=1rnjx¯jdisplaystyle overline x:=frac 1n(n_1overline x_1+n_2overline x_2+ldots +n_roverline x_r)=frac 1nsum _j=1^rn_joverline x_j.

Eigenschaften |

Ersatzwerteigenschaft |

Direkt aus der Definition des arithmetischen Mittels folgt, dass

∑i=1nxi=nx¯displaystyle sum _i=1^nx_i=noverline x.

Wenn man das arithmetische Mittel mit dem Stichprobenumfang ndisplaystyle n multipliziert, dann erhält man die Merkmalssumme.^[4] Diese Rechenregel wird als Ersatzwerteigenschaft oder Hochrechnungseigenschaft bezeichnet und oft bei mathematischen Beweisen verwendet. Sie kann wie folgt interpretiert werden: Die Summe aller ndisplaystyle n Einzelwerte kann man sich ersetzt denken durch ndisplaystyle n gleiche Werte von der Größe des arithmetischen Mittels.

Schwerpunkteigenschaft |

Die Abweichungen νidisplaystyle nu _i der Messwerte xidisplaystyle x_i vom Mittwert x¯displaystyle overline x

νi=xi−x¯i=1,…,ndisplaystyle nu _i=x_i-overline xquad i=1,ldots ,n

werden auch als „scheinbare Fehler“ bezeichnet. Die Schwerpunkteigenschaft (auch Nulleigenschaft genannt) besagt, dass die Summe der scheinbaren Fehler bzw. die Summe der Abweichungen aller beobachteten Messwerte vom arithmetischen Mittel gleich Null ist, also

∑i=1nνi=∑i=1n(xi−x¯)=0displaystyle sum nolimits _i=1^nnu _i=sum _i=1^nleft(x_i-overline xright)=0 beziehungsweise im Häufigkeitsfall ∑i=1n(xi−x¯)fi=0displaystyle sum _i=1^nleft(x_i-overline xright)f_i=0.

Dies lässt sich mithilfe der Ersatzwerteigenschaft wie folgt zeigen:

∑i=1n(xi−x¯)=∑i=1nxi−∑i=1nx¯=nx¯−nx¯=0displaystyle sum _i=1^nleft(x_i-overline xright)=sum _i=1^nx_i-sum _i=1^noverline x=noverline x-noverline x=0

Die Schwerpunkteigenschaft spielt für das Konzept der Freiheitsgrade eine große Rolle. Aufgrund der Schwerpunkteigenschaft des arithmetischen Mittels ∑i=1n(xi−x¯)=0displaystyle sum nolimits _i=1^nleft(x_i-bar xright)=0 ist die letzte Abweichung (xn−x¯)displaystyle left(x_n-overline xright) bereits durch die ersten (n−1)displaystyle (n-1) bestimmt. Folglich variieren nur (n−1)displaystyle (n-1) Abweichungen frei und man mittelt deshalb, z. B. bei der empirischen Varianz, indem man durch die Anzahl der Freiheitsgrade (n−1)displaystyle (n-1) dividiert.^[5]

Optimalitätseigenschaft |

In der Statistik ist man oft daran interessiert die Summe der Abweichungsquadrate Qdisplaystyle Q zu minimieren. Wenn man das Zentrum durch einen Wert zdisplaystyle z auf der horizontalen Achse festlegen will, der die Summe der quadratischen Abweichungen

Q(z;x1,…,xn)=∑i=1n(xi−z)2displaystyle Q(z;x_1,ldots ,x_n)=sum _i=1^nleft(x_i-zright)^2

zwischen Daten x1,…,xndisplaystyle x_1,ldots ,x_n und Zentrum zdisplaystyle z minimiert, dann ist z=x¯displaystyle z=overline x der minimierende Wert. Daraus ergibt sich die folgende Optimalitätseigenschaft (auch Minimierungseigenschaft genannt):

∑i=1n(xi−x¯)2<∑i=1n(xi−z)2displaystyle sum _i=1^nleft(x_i-overline xright)^2<sum _i=1^nleft(x_i-zright)^2, für alle z≠x¯displaystyle zneq overline x;^[6] oder anders ausgedrückt argminz∈R∑i=1n(xi−z)2=x¯displaystyle ;underset zin mathbb R rm arg,min,sum _i=1^nleft(x_i-zright)^2=overline x^[7]

Die Summe der Quadrate der Abweichungen aller Daten vom Mittelwert ist kleiner als die Summe der Quadrate der Abweichungen von einem beliebigen anderem Wert. Dieses Resultat kann durch einfaches Ableiten der Zielfunktion Qdisplaystyle Q nach zdisplaystyle z gezeigt werden:

∂Q(z;x1,…,xn)/∂z=−2(∑i=1nxi−z)=!0⇒z=x¯displaystyle partial ,Q(z;x_1,ldots ,x_n)/partial ,z=-2left(sum _i=1^nx_i-zright);overset mathrm ! =;0Rightarrow z=overline x.

Dies ist ein Minimum, da die zweite Ableitung von Qdisplaystyle Q nach zdisplaystyle z gleich 2, also größer als 0 ist, was eine hinreichende Bedingung für ein Minimum ist.

Lineare Transformationseigenschaft |

Je nach Skalenniveau ist das arithmetische Mittel äquivariant gegenüber speziellen Transformationen. Es gilt für die lineare Transformation^[6]

yi=a+b⋅xi⇒y¯=a+b⋅x¯displaystyle y_i=a+bcdot x_iRightarrow overline y=a+bcdot overline x,

da

y¯=1n∑i=1nyi=1n∑i=1n(a+b⋅xi)=a+b⋅x¯idisplaystyle overline y=frac 1nsum _i=1^ny_i=frac 1nsum _i=1^n(a+bcdot x_i)=a+bcdot overline x_i.

Dreiecksungleichungen |

Für das arithmetische Mittel gilt die folgende Dreiecksungleichung: Das arithmetische Mittel von ndisplaystyle n positiven Merkmalsausprägungen xi>0displaystyle x_i>0 ist größer oder gleich dem geometrischen Mittel dieser Merkmalsausprägungen, also

x1+x2+…+xnn≥x1⋅x2⋅…⋅xnndisplaystyle frac x_1+x_2+ldots +x_nngeq sqrt[n]x_1cdot x_2cdot ldots cdot x_n.

Die Gleichheit ist nur gegeben, wenn alle Merkmalsausprägungen gleich sind. Weiterhin gilt für den Absolutbetrag des arithmetischen Mittels mehrerer Merkmalsausprägungen, dass er kleiner oder gleich dem quadratischen Mittel ist

|x1+x2+…+xnn|≤x12+x22+…+xn2nfrac x_1+x_2+ldots +x_nnright.^[8]

Beispiele |

Einfache Beispiele |

• Das arithmetische Mittel aus 50 und 100 ist x¯=50+1002=75displaystyle quad overline x=frac 50+1002=75
  


• Das arithmetische Mittel aus 8, 5 und −1 ist x¯=8+5+(−1)3=4displaystyle quad overline x=frac 8+5+left(-1right)3=4
  

Anwendungsbeispiel |

Ein Auto fährt eine Stunde lang 100 km/h und die darauf folgende Stunde 200 km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss ein anderes Auto fahren, um denselben Weg ebenfalls in zwei Stunden zurückzulegen?

Der Weg s1displaystyle s_1, den das erste Auto insgesamt zurückgelegt hat, beträgt

s1=100 km/h⋅1 h+200 km/h⋅1 hdisplaystyle s_1=100 mathrm km/h cdot 1 mathrm h +200 mathrm km/h cdot 1 mathrm h

und der des zweiten Autos

s2=v2⋅2 h,displaystyle s_2=v_2cdot 2 mathrm h ,

wobei v2displaystyle v_2 die Geschwindigkeit des zweiten Autos ist.
Aus s1=s2displaystyle s_1=s_2 ergibt sich

v2⋅2 h=100 km/h⋅1 h+200 km/h⋅1 hdisplaystyle v_2cdot 2 mathrm h =100 mathrm km/h cdot 1 mathrm h +200 mathrm km/h cdot 1 mathrm h

und damit

v2=100 km/h⋅1 h+200 km/h⋅1h2 h=100 km+200 km2 h=150 km/h.displaystyle v_2=frac 100 mathrm km/h cdot 1 mathrm h +200 mathrm km/h cdot 1mathrm h 2 mathrm h =frac 100 mathrm km +200 mathrm km 2 mathrm h =150 mathrm km/h .

Gewichtetes arithmetisches Mittel |

Es lässt sich auch ein gewichtetes arithmetisches Mittel definieren (auch als gewogenes arithmetisches Mittel bezeichnet). Es erweitert den Anwendungsbereich des einfachen arithmetischen Mittels auf Werte mit unterschiedlicher Gewichtung. Ein Beispiel ist die Berechnung einer Schulnote, in die mündliche und schriftliche Leistungen unterschiedlich stark einfließen. Bei Anwendung der Richmannsche Mischungsregel zur Bestimmung der Mischtemperatur zweier Körper aus gleichem Material wird ebenfalls ein gewichtetes arithmetisches Mittel berechnet.

Deskriptive Statistik |

Das gewichtete Mittel wird beispielsweise verwendet, wenn man Mittelwerte xidisplaystyle x_i, i=1,…,ndisplaystyle i=1,dots ,n aus ndisplaystyle n Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen widisplaystyle w_i miteinander kombinieren will:

x¯=∑i=1nwi⋅xi∑i=1nwidisplaystyle overline x=frac sum _i=1^nw_icdot x_isum _i=1^nw_i.

Wahrscheinlichkeitsrechnung |

Stichprobenmittel |

Die konkreten Merkmalausprägungen x1,x2,…,xndisplaystyle x_1,x_2,ldots ,x_n lassen sich als Realisierungen von Zufallsvariablen X1,X2,…,Xndisplaystyle X_1,X_2,ldots ,X_n auffassen. Jeder xidisplaystyle x_i-Wert stellt somit nach der Ziehung der Stichprobe eine Realisierung der jeweiligen Zufallsvariablen Xidisplaystyle X_i dar. Das arithmetische Mittel dieser Zufallsvariablen

X¯=1n∑i=1nXidisplaystyle overline X=frac 1nsum _i=1^nX_i

wird auch als Stichprobenmittel bezeichnet und ist ebenfalls eine Zufallsvariable.

Unabhängig verteilte Zufallsvariablen |

Sind die Xidisplaystyle X_i unabhängig verteilte Zufallsvariablen (d. h. X1displaystyle X_1 ist eine Zufallsvariable mit den Zufallsvariablen X11,…,X1ndisplaystyle X_11,dots ,X_1n und X2displaystyle X_2 ist eine Zufallsvariable mit den Zufallsvariablen X21,…,X2mdisplaystyle X_21,dots ,X_2m) mit gemeinsamem Erwartungswert μdisplaystyle mu aber unterschiedlichen Varianzen σi2displaystyle sigma _i^2, so hat der gewichtete Mittelwert ebenfalls Erwartungswert μdisplaystyle mu und seine Varianz beträgt

σx¯2=∑i=1nwi2σi2(∑i=1nwi)2displaystyle sigma _overline x^2=frac sum _i=1^nw_i^2sigma _i^2left(sum _i=1^nw_iright)^2.

Wählt man als Gewicht wi=1/σi2displaystyle w_i=1/sigma _i^2, so vereinfacht sich die Varianz zu

σx¯2=∑i=1n1σi4σi2(∑i=1n1σi2)2=∑i=1n1σi2(∑i=1n1σi2)2=1∑i=1n1σi2displaystyle sigma _overline x^2=frac sum _i=1^nfrac 1sigma _i^4sigma _i^2left(sum _i=1^nfrac 1sigma _i^2right)^2=frac sum _i=1^nfrac 1sigma _i^2left(sum _i=1^nfrac 1sigma _i^2right)^2=frac 1sum _i=1^nfrac 1sigma _i^2.

Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt

(∑i=1nwi2σi2)⋅(∑i=1n1σi2)≥(∑i=1nwi)2displaystyle left(sum _i=1^nw_i^2sigma _i^2right)cdot left(sum _i=1^nfrac 1sigma _i^2right)geq left(sum _i=1^nw_iright)^2.

Die Wahl der Gewichte wi=1/σi2displaystyle w_i=1/sigma _i^2 oder eine Wahl proportional dazu minimiert also die Varianz σx¯2displaystyle sigma _overline x^2 des gewichteten Mittels.
Mit dieser Formel lassen sich die Gewichte widisplaystyle w_i abhängig von der Varianz des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst, zweckmäßig wählen.

Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen |

Sind X1,…,Xndisplaystyle X_1,dotsc ,X_n Zufallsvariablen, die unabhängig und identisch verteilt mit Erwartungswert μdisplaystyle mu und Varianz σ2displaystyle sigma ^2 sind, so hat der Stichprobenmittel X¯:=1n∑i=1nXidisplaystyle overline X:=frac 1nsum nolimits _i=1^nX_i ebenfalls den Erwartungswert μdisplaystyle mu , aber die kleinere Varianz σ2/ndisplaystyle sigma ^2/n. Hat also eine Zufallsvariable endlichen Erwartungswert und endliche Varianz, so folgt aus der Tschebyscheff-Ungleichung, dass das arithmetische Mittel einer Stichprobe gegen den Erwartungswert der Zufallsvariablen stochastisch konvergiert. Das arithmetische Mittel ist daher nach vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die Stichprobe stammt.

Sind die Xidisplaystyle X_i speziell Stichprobenmittelwerte vom Umfang nidisplaystyle n_i aus derselben Grundgesamtheit, so hat Xidisplaystyle X_i die Varianz σ2/nidisplaystyle sigma ^2/n_i, also ist die Wahl wi=nidisplaystyle w_i=n_i optimal.

Gewichtetes arithmetisches Mittel als Erwartungswert |

Im Falle einer diskreten Zufallsvariable Xdisplaystyle X mit abzählbar endlichem Träger ergibt sich der Erwartungswert der Zufallsvariable E⁡(X)displaystyle operatorname E (X) als

E⁡(X)=p1x1+p2x2+…+pnxndisplaystyle operatorname E (X)=p_1x_1+p_2x_2+ldots +p_nx_n.

Hierbei ist pi=P(X=xi)displaystyle p_i=P(X=x_i) die Wahrscheinlichkeit, dass Xdisplaystyle X den Wert xidisplaystyle x_i annimmt. Dieser Erwartungswert kann als ein gewichtetes Mittel der Werte x1,x2,…,xndisplaystyle x_1,x_2,ldots ,x_n mit den Wahrscheinlichkeiten pi(i=1,…,n)displaystyle p_i;(i=1,ldots ,n) interpretiert werden. Bei Gleichverteilung gilt p1=p2=…=pn=1/ndisplaystyle p_1=p_2=ldots =p_n=1/n und somit wird E⁡(X)displaystyle operatorname E (X) zum arithmetischen Mittel der Werte xidisplaystyle x_i^[9]

E⁡(X)=1n(x1+x2+…+xn)=1n∑i=1nxi=x¯displaystyle operatorname E (X)=frac 1n(x_1+x_2+ldots +x_n)=frac 1nsum _i=1^nx_i=overline x.

Beispiele |

Das arithmetische Mittel x¯1displaystyle overline x_1 der n1=3displaystyle n_1=3 Zahlen 1, 2 und 3 beträgt 2, das arithmetische Mittel x¯2displaystyle overline x_2 der n2=2displaystyle n_2=2 Zahlen 4 und 5 beträgt 4,5. Das arithmetische Mittel aller 5 Zahlen ergibt sich als mit dem Stichprobenumfang gewichteter Mittelwert der Teilmittelwerte:

x¯=1+2+3+4+55=31+2+33+24+523+2=n1x¯1+n2x¯2n1+n2=6+93+2=3.displaystyle overline x=frac 1+2+3+4+55=frac 3frac 1+2+33+2frac 4+523+2=frac n_1overline x_1+n_2overline x_2n_1+n_2=frac 6+93+2=3.

Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise als gewichtetes Mittel bestimmen, wobei die Klassenmitten als Wert und der Klassenumfang als Gewicht zu wählen sind. Sind beispielsweise in einer Schulklasse ein Kind in der Gewichtsklasse 20 bis 25 kg, 7 Kinder in der Gewichtsklasse 25 bis 30 kg, 8 Kinder in der Gewichtsklasse 30 bis 35 kg und 4 Kinder in der Gewichtsklasse 35 bis 40 kg, so lässt sich das Durchschnittsgewicht als

1⋅22,5+7⋅27,5+8⋅32,5+4⋅37,51+7+8+4=62520=31,25displaystyle frac 1cdot 22,5+7cdot 27,5+8cdot 32,5+4cdot 37,51+7+8+4=frac 62520=31,25

abschätzen.
Um die Güte dieser Schätzung zu ermitteln, muss man dann den minimal / maximal möglichen Mittelwert ermitteln, indem man pro Intervall die kleinsten / größten Werte zugrunde legt. Damit ergibt sich dann, dass der tatsächliche Mittelwert zwischen 28,75 kg und 33,75 kg liegt. Der Fehler der Schätzung 31,25 beträgt also maximal ±2,5 kg oder ±8 %.

Weiteres Beispiel: Ein Bauer stellt im Nebenerwerb 100 kg Butter her. 10 kg kann er für 10 €/kg verkaufen, weitere 10 kg für 6 €/kg und den Rest muss er für 3 €/kg abgeben. Zu welchem (gewichtetem) Durchschnittspreis hat er seine Butter verkauft?
Lösung: (10 kg · 10 €/kg + 10 kg · 6 €/kg + 80 kg · 3 €/kg) / (10 kg + 10 kg + 80 kg) = 400 € / 100 kg = 4 €/kg. Der mit der jeweils verkauften Menge gewichtete Durchschnittspreis entspricht also dem fixen Preis, zu dem die Gesamtmenge verkauft werden müsste, um den gleichen Erlös zu erzielen wie beim Verkauf von Teilmengen zu wechselnden Preisen.

Der Mittelwert einer Funktion |

Als Mittelwert der Riemann-integrierbaren Funktion f:[a,b]→Rdisplaystyle fcolon [a,b]to mathbb R wird die Zahl

f¯:=1b−a∫abf(x)dxdisplaystyle overline f:=frac 1b-aint _a^bf(x)mathrm d x

definiert.

Die Bezeichnung Mittelwert ist insofern gerechtfertigt, als für eine äquidistante Zerlegung x0,x1,x2,…,xndisplaystyle x_0,x_1,x_2,dotsc ,x_n des Intervalls mit der Schrittweite h=b−andisplaystyle h=tfrac b-an das arithmetische Mittel

mn(f):=1n(f(x1)+f(x2)+…+f(xn))=1b−a∑k=1nf(xk)hdisplaystyle m_n(f):=frac 1n(f(x_1)+f(x_2)+ldots +f(x_n))=frac 1b-asum _k=1^nf(x_k)h

gegen f¯displaystyle overline f; konvergiert, vgl.^[10]

Ist fdisplaystyle f; stetig, so besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung, dass es ein ξ∈[a,b]displaystyle xi in [a,b] gibt mit f(ξ)=f¯displaystyle f(xi )=overline f, die Funktion nimmt also an mindestens einer Stelle ihren Mittelwert an.

Der Mittelwert der Funktion f(x)displaystyle f(x) mit dem Gewicht w(x)displaystyle w(x); (wobei w(x)>0displaystyle w(x)>0; für alle x∈[a,b]displaystyle xin [a,b]) ist

f¯=∫abf(t)w(t)dt∫abw(t)dtdisplaystyle overline f=frac int _a^bf(t)w(t)mathrm d tint _a^bw(t)mathrm d t.

Für Lebesgue-Integrale im Maßraum (Ω,A,μ)displaystyle (Omega ,mathcal A,mu ) mit einem endlichen Maß μ(Ω)<∞displaystyle mu (Omega )<infty lässt sich der Mittelwert einer Lebesgue-integrierbaren Funktion als

f¯:=1μ(Ω)∫Ωf(x)dμ(x)displaystyle overline f:=frac 1mu (Omega )int _Omega f(x),mathrm d mu (x)

definieren. Handelt es sich um einen Wahrscheinlichkeitsraum, gilt also μ(Ω)=1displaystyle mu (Omega )=1;, so nimmt der Mittelwert die Form

f¯:=∫Ωf(x)dμ(x)displaystyle overline f:=int _Omega f(x),mathrm d mu (x)

an; das entspricht genau dem Erwartungswert von fdisplaystyle f;.

Der Mittelwert einer Funktion hat in Physik und Technik erhebliche Bedeutung insbesondere bei periodischen Funktionen der Zeit, siehe Gleichwert.

Quasi-arithmetischer Mittelwert (f-Mittel) |

Sei fdisplaystyle f eine auf einem reellen Intervall Idisplaystyle I streng monotone stetige (und daher invertierbare) Funktion und seien

wi,0≤wi≤1,∑iwi=1displaystyle w_i,0leq w_ileq 1,sum _iw_i=1

Gewichtsfaktoren. Dann ist für xi∈Idisplaystyle x_iin I das mit den Gewichten widisplaystyle w_i gewichtete quasi-arithmetische Mittel definiert als

x¯f=f−1(∑i=1nwif(xi))displaystyle overline x_f=f^-1left(sum _i=1^nw_if(x_i)right).

Offensichtlich gilt

min(xi)≤x¯f≤max(xi).displaystyle min(x_i)leq overline x_fleq max(x_i).

Für f(x)=xdisplaystyle f(x)=x erhält man das arithmetische, für f(x)=log⁡(x)displaystyle f(x)=log(x) das geometrische Mittel, und für f(x)=xkdisplaystyle f(x)=x^k das kdisplaystyle k-Potenzmittel.

Dieser Mittelwert lässt sich auf das gewichtete quasi-arithmetische Mittel einer Funktion xdisplaystyle x verallgemeinern, wobei fdisplaystyle f in einem die Bildmenge von xdisplaystyle x umfassenden Intervall streng monoton und stetig sei:

x¯f=f−1(∫f(x(t))w(t)dt∫w(t)dt)displaystyle overline x_f=f^-1left(frac int f(x(t))w(t)mathrm d tint w(t)mathrm d tright)

Siehe auch |

• Harmonisches Mittel


• Quadratisches Mittel


• Hölder-Mittel

Weblinks |

Wikibooks: Beweis zum
Arithmetischen Mittel zweier Zahlen –

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ Karl Bosch: Elementare Einführung in die angewandte Statistik. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, S. 13. 
   


2. 
   ↑ Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 49.
   


3. 
   ↑ ^ab Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 50.
   


4. 
   ↑ Horst Degen, Peter Lorscheid: Statistik-Lehrbuch: mit Wirtschafts- und Bevölkerungsstatistik. S. 42.
   


5. 
   ↑ Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 65.
   


6. 
   ↑ ^ab Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 54.
   


7. 
   ↑ arg⁡min(⋅)displaystyle arg min(cdot ) bezeichnet analog zu arg⁡max(⋅)displaystyle arg max(cdot )(Argument des Maximums) das Argument des Minimums
   


8. 
   ↑ I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew u. a.: Taschenbuch der Mathematik. 2. Auflage. 1995, S. 19 ff.
   


9. 
   ↑ I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew u. a.: Taschenbuch der Mathematik. 2. Auflage. 1995, S. 629.
   


10. 
    ↑ H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. Auflage. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6.