Сярэдняе арыфметычнае

У матэматыцы і статыстыцы сярэдняе арыфметычнае — адна з найбольш распаўсюджаных мер цэнтральнай тэндэнцыі(руск.) бел., якая ўяўляе сабой суму ўсіх значэнняў, якія назіраліся, падзеленую на іх колькасць.

Прапанавана (разам з сярэднім геаметрычным і сярэднім гарманічным(руск.) бел.) яшчэ піфагарэйцамі^[1].

Прыватнымі выпадкамі сярэдняга арыфметычнага з'яўляюцца генеральнае сярэдняе (генеральная сукупнасці) і выбарачнае сярэдняе (выбаркі).

Змест

1 Увядзенне
- 1.1 Прыклады
- 1.2 Бесперапынная выпадковая велічыня

2 Гл. таксама

3 Зноскі

4 Спасылкі

Увядзенне |

Пазначым мноства дадзеных X = (x₁, x₂, …, x_n), тады выбарачнае сярэдняе звычайна пазначаецца гарызантальнай рысай над зменнай ( $displaystyle bar x,$ , вымаўляецца «x з рысай»).

Для абазначэння сярэдняга арыфметычнага ўсёй сукупнасці выкарыстоўваецца грэчаская літара μ. Для выпадковай велічыні, для якой вызначана сярэдняе значэнне, μ ёсць імавернаснае сярэдняе ці матэматычнае чаканне выпадковай велічыні. Калі мноства X з'яўляецца сукупнасцю выпадковых лікаў з імавернасным сярэднім μ, тады для любой выбаркі x_i з гэтай сукупнасці μ = Ex_i ёсць матэматычнае чаканне гэтай выбаркі.

На практыцы розніца паміж μ і $displaystyle bar x,$ у тым, што μ з'яўляецца тыповай неназіранай зменнай, таму што бачыць мага хутчэй выбарку, а не ўсю генеральную сукупнасць. Таму, калі выбарку прадстаўляць выпадковым чынам (у тэрмінах тэорыі імавернасцей), тады $displaystyle bar x,$ (але не μ) можна трактаваць як выпадковую зменную, якая мае размеркаванне імавернасцей на выбарцы (імавернаснае размеркаванне сярэдняга).

Абедзве гэтыя велічыні вылічаюцца адным і тым жа спосабам:

displaystyle bar x=frac 1nsum _i=1^nx_i=frac 1n(x_1+cdots +x_n).

Калі X — выпадковая пераменная, тады матэматычнае чаканне X можна разглядаць як сярэдняе арыфметычнае значэнняў у паўтаральных вымярэннях велічыні X. Гэта з'яўляецца праявай закона вялікіх лікаў. Таму выбарачнае сярэдняе выкарыстоўваецца для ацэнкі невядомага матэматычнага чакання.

У элементарнай алгебры даказана, што сярэдняе n+1 лікаў больш сярэдняга n лікаў тады і толькі тады, калі новы лік больш, чым старое сярэдняе, менш тады і толькі тады, калі новы лік менш за сярэдняе, і не змяняецца тады і толькі тады, калі новы лік роўны сярэдняму. Чым больш n, тым менш адрозненне паміж новым і старым сярэднімі значэннямі.

Заўважым, што маецца некалькі іншых «сярэдніх» значэнняў, у тым ліку сярэдняй ступені, сярэдняе Калмагорава, гарманічнае сярэдняе, арыфметыка-геаметрычнае сярэдняе і розныя сярэдне-ўзважаныя велічыні.

Прыклады |

Для трох лікаў складзём іх і падзелім на 3 :

displaystyle frac x_1+x_2+x_33.

Для чатырох лікаў складзём іх і падзелім на 4 :

displaystyle frac x_1+x_2+x_3+x_44.

Бесперапынная выпадковая велічыня |

Для непарыўна размеркаванай велічыні $displaystyle f(x)$ сярэдняе арыфметычнае на адрэзку $displaystyle [a;b]$ вызначаецца праз вызначаны інтэграл:

displaystyle overline f(x)_[a;b]=frac 1b-aint _a^bf(x)dx

Гл. таксама |

Сярэдняе гарманічнае

Сярэдняе геаметрычнае

Медыяна

Мода

Зноскі

↑ Cantrell, David W., "Pythagorean Means" from MathWorld

Спасылкі |

Арифметическая средняя // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Финансовая математика

Прикладная математика

[1] Cantrell, David W., "Pythagorean Means" from MathWorld

搜尋此網誌

Xjyuk